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Numération binaire, décimal, hexadécimal

I- Introduction

La numération permet de convertir un nombre d'une base vers une autre. L'homme utilise en général un système numérique qui va de 0 à 9 (sur 10 chiffres, puisqu'il a 10 doigts). Le système décimal est aussi appelé base 10 (système à 10 chiffres).

L'ordinateur et les appareils électroniques d'une manière générale, ne savent dialoguer qu'avec le système binaire basé sur deux chiffres, 0 ou 1 (le courant passe ou il ne passe pas). Ce système est aussi appelé base 2.

Pour traduire de grands nombres binaires, on peut utiliser un système plus grand, comme le système hexadécimal (base 16) qui utilise 16 chiffres :

de 0 à 9, puis A, B, C, D, E, F.

Bits :

Le système binaire n'a que deux chiffres possibles: 0 ou 1.

Une unité pouvant prendre la valeur 0 ou 1 est appelée un bit (binary digit). C'est la plus petite unité d'information manipulable.

Sur 1 bit, on peut avoir 2 (2^1^) valeurs possibles: 0, 1

Sur 2 bits, on peut avoir 4 (2^2^) valeurs possibles: 00, 01, 10, 11

Sur 3 bits, on peut avoir 8 (2^3^) valeurs possibles: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

Sur 4 bits, on peut avoir 16 (2^4^) valeurs possibles: ...

Octets :

Un octet représente un ensemble de 8 bits.

C'est l'unité de base en informatique. Il permet de stocker une valeur (un caractère)

En binaire, un octet peut contenir une valeur de 00000000 à 11111111

Ce qui donne en décimal une valeur de 0 à 255 et en hexadécimal de 00 à FF

II- Conversions

Tableau des 16 premiers chiffres en différentes bases:

Binaire Hexa Décimal
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 2
0011 3 3
0100 4 4
0101 5 5
0110 6 6
0111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 A 10
1011 B 11
1100 C 12
1101 D 13
1110 E 14
1111 F 15

Binaire > Décimal

Traduire 10101101 (base 2) en décimal :

Méthode: multiplication de chaque bit à 1 par la puissance de 2 lui correspondant:

 1 0 1 0 1 1 0 1
* * * * * * * *
2^7 (128) 2^6 (64) 2^5 (32) 2^4 (16) 2^3 (8) 2^2 (4) 2^1 (2) 2^0 (1)
= = = = = = = =
128 0 32 0 8 4 0 1 173

Décimal > Binaire :

Méthode : Conversions grâce aux puissances de 2 :

C'est l'inverse de la méthode ci-dessus. Cela consiste à décomposer le nombre décimal en puissances de 2 :

On décompose 52 : 52 = 32 + 16 + 4

128 64 32 16 8 4 2 1
- - 1 1 - 1 - - -> 110100

Binaire > Hexadécimal

Méthode: Découper le nombre par groupe de 4 chiffres en partant de la droite et utiliser le tableau de conversion pour les convertir:

 1 0 1 0 1 1 0 1
A | D = AD

Hexadécimal > Binaire

Dans l'autre sens c'est la même chose.

Méthode : On sépare chaque chiffre du nombre hexadécimal et on le traduit en binaire:

A8 (base 16) = ? (base 2) :

A | 8
 1 0 1 0 1 0 0 0 = 10101000

Décimal > Hexadécimal

On utilise la méthode de divisions successives par 16 :

941 (base 10) = ? (base 16)

  • 941/16 = 58 et il reste 13 (D)
  • 58/16 = 3 et il reste 10 (A)

Une fois arrivé à un chiffre inférieur à 16, on lit de bas en haut.

Résultat: 941 (base 10) = 3AD (base 16)

Hexadécimal > Décimal

Méthode: Multiplication du nombre hexadécimal par les puissances de 16

B0F (base 16) = ? (base 10)

 B 0 F
* * *
16^2 (256) 16^1 (16) 16^0 (1)
= = =
11*256 + 0 + 15*1 = 2831